هفته گذشته توئیت های بسیار زیبایی از دیو رادکلیف دیدم. مثلا:

این توییت ها دیروز منجر به یک پروژه سرگرم کننده شد:

امروز من هر یک از پسرها را کاوش حالت 2 و mod 3 داشتم. انجام این کاوش با دست سخت تر است (و سخت تر شد زیرا امروز صبح بیرون بودم و آنها به تنهایی روی آن کار کردند). با این حال، شنیدن آنچه آنها در روز داشتند جالب بود.

پسر کوچکتر من فعالیت پیچیده تری را برای نگاه کردن به power mod 3 انتخاب کرد. این چیزی است که او پیدا کرد:

سپس به رایانه رفتیم تا بررسی کنیم که آیا هر یک از الگوهایی که او فکر می کرد وجود دارد ادامه خواهد داشت یا خیر. او ایده هایی داشت اما متأسفانه هیچ کدام از آنها کارساز نبود. بعداً بیشتر بازی خواهیم کرد تا ببینیم آیا می‌توانیم کد روی الگوها را بشکنیم:

بعد با پسر بزرگترم صحبت کردم. او به قدرت های حالت چند جمله ای 2 نگاه کرد.

در اینجا چیزی است که او متوجه شد:

او هیچ حدس و گمانی نداشت، بنابراین من تصویری را که دیو رادکلیف توییت کرده بود به او نشان دادم و این باعث شد که او الگوهای دیگری را در آنچه روی کاغذ نوشته بود ببیند:

بنابراین، خوشحالم که توییت‌های دیو را دیدم، زیرا این پروژه یک تمرین ریاضی کامپیوتری عالی است. کاوش قدرت های این چند جمله ای ها بدون کمک کامپیوتر تقریبا غیرممکن بود، اما با کمک کامپیوتر توانستیم چند الگو را کشف کنیم. تلاش برای یافتن راه هایی برای کاوش بیشتر در الگوها و دیدن آنچه می توانیم پیدا کنیم، سرگرم کننده خواهد بود.

روز 1 فعالیت چند جمله ای دیو رادکلیف

دیروز این توییت واقعا جالب از دیو رادکلیف را دیدم:

این یک پروژه سرگرم کننده برای بچه ها به نظر می رسید، اگرچه مشخص نبود چگونه شروع کنید. معلوم شد که Mathematica یک تابع مفید به نام PolynomialMod[] دارد که به شما می‌گوید یک چند جمله‌ای شبیه مدول یک عدد صحیح است – بنابراین زندگی را آسان‌تر می‌کند!

من تصمیم گرفتم که برای پروژه امروز با استفاده از Mathematica کاوش کنیم و ببینیم چه الگوهایی را می‌توانیم پیدا کنیم. مقدمه پروژه امروزی شامل معرفی ضرب چند جمله ای پایه بود. خوشبختانه، یک روش طبیعی برای ضرب چند جمله ای ها بسیار شبیه ضرب اعداد 2 رقمی است. من از این اتصال برای معرفی پروژه استفاده کردم:

پس از مقدمه، از پسرها خواستم در ریاضیات بازی کنند و قدرت های مختلف شروع را محاسبه کنند. ما بین اعداد فیبوناچی و مثلث پاسکال کمی گیج شدیم، اما این چیزی است که آنها دیدند:

برای آخرین بخش پروژه امروز از PolynomialMod[] برای بررسی قدرت های مختلف در مود 2 استفاده کردیم. من می خواستم آنها را به این تابع Mathematica عادت دهم تا کاوش مود 2 فردا آسان تر شود. پس از بررسی قدرت های mod 2 تا n = 8، ما در مورد الگوها در اعداد صحبت کردیم:

بنابراین، یک پروژه کوچک سرگرم کننده ریاضی کامپیوتری. شنیدن صحبت بچه ها در مورد الگوها و همچنین صحبت در مورد ایده های اساسی مانند ضرب چند جمله ای و محاسبات مدولار سرگرم کننده بود. قطعاً مشتاق کشف برخی از الگوهای پیچیده‌تر فردا هستم.

مشکلی که دن اندرسون با ما در میان گذاشت

ما چند روز گذشته را صرف مطالعه مقسوم علیه اعداد صحیح کرده ایم - عمدتاً تعداد مقسوم علیه ها و مجموع آن مقسوم علیه ها. این موضوع از طریق فهرست «چیزهایی که باید برای مسابقات ریاضی بدانید» به ما رسید که تیم ریاضی در مدرسه پسر بزرگترم به بچه‌ها داد.

ما از Mathematica استفاده کرده‌ایم تا به ما در درک این موضوعات کمک کند و کار کامپیوتری (فکر می‌کنم) دن را بر آن داشت تا این مشکل را با ما در میان بگذارد:

مشکل این است: اولین عدد مثلثی با بیش از 500 مقسوم علیه را پیدا کنید.

من از پسرها پرسیدم که آیا می‌خواهند برای حل این مشکل تلاش کنند، و آنها می‌خواستند آن را امتحان کنند. بنابراین ... رفتیم:

وقتی بچه‌ها مشکل را فهمیدند، فکر کردم مفید خواهد بود که مدتی را صرف صحبت کردن درباره نحوه برخورد با مشکل کنیم. پسرها ایده های خیلی خوبی داشتند:

تنها چیزی که می‌خواستم زمان بیشتری را صرف آن کنم، روشی جایگزین برای محاسبه اعداد مثلثی بود. روشی که پسران پیشنهاد کردند در واقع خوب بود، اما به نظر می‌رسید که چند دقیقه بیشتر صحبت کردن در مورد رویکردی متفاوت، زمان خوبی است:

حالا برای اجرای طرح خود به سراغ کامپیوتر رفتیم. ما دریافتیم که عدد مثلثی 12375 یعنی 76576500 اولین عدد مثلثی با بیش از 500 مقسوم علیه است.

پسرها وقتی فهمیدند که اولین عدد مثلثی با بیش از 500 مقسوم علیه کوچکتر از عددی با دقیقاً 500 مقسوم علیه است، کمی شگفت زده شدند. در واقع، ما هنوز حتی یکی از 500 مقسوم‌کننده را پیدا نکردیم. در قسمت بعدی پروژه ما به دنبال آن عدد بودیم. ما آن عدد را پیدا کردیم، اما بسیار بزرگتر از آن چیزی بود که انتظار داشتیم – عدد مثلثی 1, 569, 375 1, 231, 469, 730, 000 است که دقیقاً 500 مقسوم علیه دارد!

ما با نگاهی به 5 عدد مثلثی با 500 عامل دقیقاً پیچیده شدیم. همه آنها یک عامل مشترک 16 را به اشتراک گذاشتند. از هم اکنون (3 ساعت) پس از اتمام پروژه ، رایانه یکی پیدا نکرده است.

بنابراین ، یک پروژه رایانه ای واقعاً سرگرم کننده با پسران. با تشکر از دن اندرسون برای ارائه این مشکل چالش برانگیز!

یک رویکرد ترسناک و یک رویکرد نه چندان ترسناک برای یک مشکل ریاضی چالش برانگیز

امروز آخرین روز پروژه های ریاضی برای حداقل یک هفته به دلیل برخی از تعطیلات و سفرهای کاری بود. به جای پرش در کتاب ما ، فکر می کردم که به آنها هویت جالبی در مثلث پاسکال نشان دهد.

در اینجا یک روش ترسناک برای پرسیدن در مورد این هویت وجود دارد:

ثابت کنید که برای هر عدد صحیح n بیشتر از 0:

به جای اینکه رویکرد ترسناک را انجام دهیم ، ما با صحبت در مورد شمارش مسیرها در یک شبکه مربع ، مشکل امروز را شروع کردیم. ما برای اولین بار در پروژه دیروز این نوع سؤال را مورد بررسی قرار دادیم:

این چیزی است که پسران در مورد شمارش این مسیرها امروز فکر می کردند و به دنبال آن رویکرد آنها برای شمارش چند زیر مجموعه از کل مسیرها است:

در آخرین ویدئو ، ما شروع به شمارش مسیرهایی کردیم که از نقاط خاص در مورب شبکه عبور کردند. در اینجا ما این محاسبه را به پایان می رسانیم تا یک عبارت جالب ، هرچند نسبتاً پیچیده به نظر برسد:

برای آخرین بخش پروژه ، ما به این هویت نگاه می کنیم که از نظر مثلث پاسکال به چه معناست. رابطه نسبتاً آسان برای دیدن در اینجا یک تعجب خوب است! هنگامی که پسران تعجب آور بودند ، آنها می توانند موارد دیگری از این هویت را در مثلث پاسکال پیدا کنند

بنابراین ، یک پروژه سرگرم کننده قبل از اینکه یک هفته استراحت کنیم. اتصالات با شمارش و مثلث پاسکال واقعاً شگفت انگیز است

مقدمه ای برای شمارش با ترکیبات

امروز صبح شروع به جستجوی ترکیبات و "انتخاب" کرد. من فکر می کنم این یکی از موضوعاتی است که به نظر می رسد بعد از یادگیری آن از آنچه که هنگام یادگیری آن به نظر می رسید بسیار ساده تر است. پس از معرفی سریع ایده انتخاب شماره ، پسران روی یک مشکل نمونه کار کردند که شامل شمارش تعداد بازی ها در یک مسابقات دور رابین بود:

این امکان وجود داشت که از طریق آن مشکل کار کنند ، اما من فکر کردم که فکر کردن دوباره از طریق آن باز هم مفید خواهد بود ، بنابراین ما از ابتدا تا انتها مشکل را مرور کردیم.

اول - قبل از صحبت در مورد انتخاب شماره ، ما در مورد این مشکل چگونه فکر کردیم؟

پس از آن بررسی سریع، شروع به صحبت در مورد انتخاب اعداد کردیم. به پسرها اجازه دادم نظرات خود را در مورد این اعداد توضیح دهند. یک اتفاق جالب در این بخش از پروژه ما این است که پسرها متوجه شدند که در این اعداد کمی تقارن وجود دارد:

اکنون به الگوهایی که در انتخاب اعداد به وجود می آیند نگاه کردیم. یک ترفند کوچک وجود دارد که من به اشتباه فکر می کردم قبلاً در مورد آن صحبت کرده ایم - آن 0!= 1. بعد از اینکه به آنها گفتیم که این فقط یک تعریف بود، به سراغ یافتن یک الگوی سرگرم کننده رفتیم که در اعداد انتخابی ظاهر می شود - مثلث پاسکال!

در نهایت، به عنوان راهی برای تأیید اتصال به مثلث پاسکال، ما به دنبال این بودیم که ببینیم آیا رابطه جمع بین دو ردیف مثلث نیز در اعداد انتخابی نشان داده می شود. این یکی از اولین نمونه های اثبات ترکیبی است که پسرها دیده اند!

بنابراین، یک پروژه واقعاً سرگرم‌کننده که نشان می‌دهد شمارش پیوندهای شگفت‌انگیزی با موضوعات دیگر در ریاضیات دارد. شنیدن ایده‌های آنها (و تعجب آنها) وقتی ارتباط با مثلث پاسکال را پیدا کردند بسیار سرگرم کننده بود. نشان دادن یک اثبات ترکیبی اولیه به آنها در پایان نیز سرگرم کننده بود - این اثبات ها می توانند کاملاً شگفت انگیز باشند!

شمارش، مثلث پاسکال و اعداد باینری

در پروژه شمارش دیروز، پسران متوجه ارتباط بین یک مسئله شمارش و اعداد باینری شدند. در اینجا آن پروژه است:

برای پروژه امروز می‌خواستم این ارتباط را کمی عمیق‌تر کشف کنم. برای شروع، ما به ارتباط بین ترتیبات شمارش و مثلث پاسکال نگاه کردیم:

در قسمت اول این پروژه شاهد ارتباط بین شمارش جفت گردشگران و راهنماها بودیم که ارتباط جالبی با مثلث پاسکال دارد. در اینجا ما با دقت بیشتری به این ارتباط نگاه می کنیم و سعی می کنیم بفهمیم که چگونه قاعده ای که به شما می گوید چگونه ردیف های مثلث پاسکال را بسازید، هنگام شمارش این جفت ها نشان می دهد.

ما در اینجا ارتباط را در دو بخش بررسی کردیم. در این قسمت اول ما 6 روشی را نشان می دهیم که می توانید 4 گردشگر را با 2 راهنما جفت کنید، زمانی که هر راهنما 2 گردشگر دارد. ما همچنین 3 راه برای جفت کردن 3 نفر با 2 راهنما را نشان می دهیم که در آن راهنما اول 1 نفر می شود و 3 روش برای جفت کردن 3 نفر با 2 راهنما که در آن راهنما اول 2 نفر می شود.

اکنون ما آماده هستیم تا ارتباط بین دو لیستی را که من در فیلم قبلی ساخته ام پیدا کنیم. این ارتباط مهم است زیرا نشان می دهد که همان قانون اضافی که به ردیف های مثلث پاسکال می دهد نیز در مورد شمارش تنظیمات مجموعه های خاص اعمال می شود ، بنابراین به شما کمک می کند تا درک کنید که چرا مثلث پاسکال به شما کمک می کند تا آن ترتیبات را حساب کنید.

در قسمت آخر پروژه ، ارتباط بین اعداد باینری و مثلث پاسکال را بررسی می کنیم. ما این کار را با استفاده از نمونه ای از شماره های باینری 5 رقمی (از 00000 تا 11111) انجام می دهیم. این ارتباط به شما امکان می دهد ببینید که ردیف های مثلث پاسکال همیشه قدرت 2 را اضافه می کنند.

بنابراین ، یک پروژه کوچک خوب که ارتباطات سرگرم کننده ای بین مثلث ، شمارش و شمارش پاسکال را نشان می دهد. برخی از این اتصالات بسیار عمیق هستند و من مطمئناً انتظار ندارم که پسران همه جزئیات این پروژه را درک کنند. به نظر می رسد که آنها از آن لذت می برند ، و به نظر می رسد که درک آنها از زمانی که ما در اوایل این هفته از طریق مشکل AMC 10 کار کردیم ، مسیری طولانی را طی کرده است.

صحبت از طریق مثلث Mod 2 Pascal Dan Anderson

این توییت را از دن اندرسون امروز دید:

من امروز صبح بهترین مذاکرات ریاضی با پسران را نداشتم و تمام روز به نوعی در مورد آن صحبت کردم. از آنجا که مشکلی که دن ارسال کرده است ارتباط ریاضی واقعاً شگفت آور و سرگرم کننده در راه حل دارد که فکر می کردم از طریق آن به ما کمک می کند تا روز را در یک یادداشت بهتر از آنچه ما شروع کردیم به پایان برسانیم.

کمی متأسفانه ما برای زمان کمی تحت فشار قرار گرفتیم ، اما هنوز یک پروژه کوچک خوب بود.

ما فقط با صحبت کردن در مورد مشکل دن و مثلث پاسکال به طور کلی شروع کردیم و با نگاهی اولیه برای دیدن اینکه آیا می توانیم در تعداد اعداد عجیب و غریب در هر سطر الگویی پیدا کنیم یا خیر. پسران متوجه چند الگوی جالب شدند.

ما این بخش بعدی را با کمی جزئیات بیشتر در مورد برخی از الگوهای شروع کردیم. پسر کوچکتر من متوجه شد که چند الگوی مربوط به ردیف ها وجود دارد که تعداد آنها قدرت 2 بود.

پسران از ایده هایی که در اینجا پیدا کردند استفاده کردند تا در تعداد اعداد عجیب و غریب در ردیف های 2048 و 2047 حدس بزنند ، اما هنوز مطمئن نبودند که چگونه به ردیف 2015 برگردند.

این بخش بعدی جایی است که من کمی تعجب کرده ام که برای زمان تحت فشار قرار گرفتیم. من می خواستم آنها را در مورد چیزهای دیگر که مربوط به قدرت 2 بود ، طوفان مغزی کنند ، اما آنها کمی گیر کرده اند.

من از ایده از تصویر در توییت دن برای نوشتن مثلث Mod Pascal استفاده کردم. نوشتن مثلث از این طریق باعث شد پسر بزرگتر من درباره باینری فکر کند. آنها همچنین از دیدن چیزی که شبیه مثلث سیرپینسکی در هیئت مدیره است ، شگفت زده شدند!

از آنجا شماره های ردیف را به صورت باینری نوشتیم و به دنبال اتصال به تعداد اعداد عجیب و غریب در هر ردیف بودیم. تعجب در این مشکل این است که در واقع یک ارتباط وجود دارد!

با ساعت زمانی که مجبور شدند از در خارج شوند ، به Wolfram Alpha رفتیم تا ببینیم سال 2015 به صورت باینری چیست. از آنجا پسران حدس زدند که تعداد تعداد عجیب و غریب در ردیف 2015 مثلث پاسکال 1024 خواهد بود. ولفرام آلفا این حدس را تأیید کرد.

بنابراین ، اگرچه آرزو می کنم زمان بیشتری داشته باشم ، این هنوز یک پروژه کوچک سرگرم کننده بود. من همیشه سعی می کنم به پسران کمک کنم تا ارتباطات سرگرم کننده ای را در ریاضی ببینند. در اینجا من واقعاً مجبور شدم به جای اینکه به آنها اجازه دهند آن را کشف کنم ، ارتباط را به آنها نشان می دادم ، اما این اتفاق می افتد هر از چند گاهی اتفاق می افتد. خوشحالم که روز را با این پروژه سرگرم کننده به پایان می رسانم.

پرندگان عصبانی و مکعب های ضربه محکم و ناگهانی: با استفاده از سخنرانی عمومی Momath Bryna Kra برای صحبت با ریاضیات

دیشب من سخنرانی عمومی Bryna Kra را در موزه ریاضی تماشا کردم:

من کاملاً مطمئن نیستم که چگونه از طریق برخی از ایده های ساده سیستم پویا در سخنرانی صحبت کنم ، اما مطالب قبلی در مورد الگوهای و اصل کبوتر قطعاً مباحث سرگرم کننده ای برای صحبت با بچه ها هستند. ما از مجموعه مکعب های ضربه محکم و ناگهانی و حیوانات پرنده عصبانی به عنوان غرفه استفاده کردیم

در قسمت اول صحبت ، ما اصل کبوتر را معرفی می کنیم و از طریق یک الگوی ساده با تنها بلوک های منفرد مبتنی بر یکی از الگوهای ابتدایی KRA در صحبت های خود صحبت می کنیم. این الگوی ساده به ما امکان می دهد کمی تمرین کنیم که "کبوترها" و "کبوتر" را در یک مشکل شناسایی کنیم:

در صحبت دوم ما به یک الگوی کمی پیچیده تر نگاه می کنیم - الگوهای شما با دو بلوک به جای یک. برای این الگوی ما ترتیب پرندگان را مهم می دانیم - بنابراین یک گروه (قرمز ، آبی) متفاوت از یک گروه (آبی ، قرمز) است. نمونه ای که در قسمت آخر صحبت های امروز به آن نگاه می کنیم ، این دو گروه را یکسان می دانند.

پسران توانستند چهار طرح مختلف را ببینند که می توانستیم با این دو پرنده / بلوک درست کنیم. پسر بزرگتر من حتی متوجه ارتباطی با مثلث پاسکال شد که دیدن آن جالب بود. سپس با نگاهی به تعداد انتخاب هایی که برای پرنده اول و برای پرنده دوم داشتیم ، در مورد چگونگی شمارش انواع مختلف جفت صحبت کردیم. این باعث شد پسر کوچکتر من تعجب کند که اگر به سه پرنده مختلف در این الگوی اجازه دهیم ، در مجموع 9 گروه از دو پرنده وجود داشته باشد. بحث بسیار سرگرم کننده:

در پایان آخرین صحبت ، پسر کوچکتر من تعجب می کرد که اگر از سه رنگ مختلف بلوک استفاده می کردیم به جای دو ، چه اتفاقی می افتد. من برنامه ریزی نکرده ام که در مورد آن مشکل بحث کنم ، اما چه فایده ای دارد! جالب بود که بچه ها بدانند که چگونه بلوک ها را برای ساخت 9 جفت گروه بندی می کنند. آنها همچنین اکنون می توانند ببینند که اگر رنگ ها و/یا تعداد بلوک های موجود در الگوی را تغییر دهیم ، چگونه الگوهای ادامه می یابد. ورزش کوچک سرگرم کننده. با تماشای این موضوع دوباره آرزو می کنم کمی وقت بگذارم تا به اظهار نظر پسرم بزرگتر پاسخ دهم که دیگر هیچ ارتباطی با الگوی مثلث پاسکال وجود ندارد - اوه ، دفعه بعد!

آخرین پروژه ما پیچ و تاب کمی متفاوت در اصل کبوتر بود. ما به یک تورنمنت که شامل 4 پرنده است که در هر بازی شامل 2 پرنده است ، نگاه کردیم. سوالی که پسران به آن نگاه کردم این بود: اگر 7 بازی در کل در این مسابقات انجام شده است ، نشان دهید که حداقل دو بازی باید یک دو بازیکن را درگیر کنند.

من رویکرد آنها برای حل این مشکل را دوست داشتم. غریزه آنها این بود که با ذکر همه انواع بازی هایی که ممکن است اتفاق بیفتد ، مشکل را حل کنند. اگر ما در تخته سفید بودیم ، من یک مربع را با طرفین و مورب های آن ترسیم می کردم ، اما لیست آنها از انواع بازی ها به اندازه کافی برای این پروژه خوب بود. آنها در شناسایی کبوترها و کبوتر ها در اینجا کمی مشکل داشتند ، اما این خوب است ، همیشه آشکار نیست که چگونه می توان آن را شناسایی کرد.

بنابراین ، یک پروژه سرگرم کننده مبتنی بر یک گفتگوی دیگر Momath. برای آخرین پروژه ما بر اساس سخنرانی Momath اینجا را ببینید:

من فکر می کنم سخنرانی های عمومی در موزه ریاضی راهی عالی برای دیدن برخی از ریاضیات شگفت انگیز است. مطمئناً برخی از سخنرانی هایی وجود خواهد داشت که برای بچه های جوان بسیار پیشرفته است ، اما بسیاری از این سخنرانی ها در آنها ایده هایی دارند که درک بچه ها به هیچ وجه سخت نیست. با سخنرانی Bryna Kra ، ایده های مربوط به الگوهای و اصل کبوتر موضوعاتی است که بچه ها می توانند با آنها بازی کنند و واقعاً از آن لذت ببرند. من بسیار خوشحالم که Momath این سخنرانی ها را در دسترس عموم قرار می دهد. واقعاً جالب است که به بچه ها ایده هایی را نشان دهید که ریاضیدانان حرفه ای در تحقیقات خود از آنها استفاده می کنند ، و امیدوارم یک راه عالی برای الهام بخشیدن به نسل جدید ریاضیدانان باشد!

شگفت آور است که چند چیز به شماره 11 متصل می شود.

چند هفته پیش دیوید ویس سؤال زیر را در توییتر پرسید:

در صورت کلیک بر روی موضوع در توییتر ، پاسخ های جالب زیادی به سوال دیوید وجود داشت. یک مورد دیگر در این پست فوق العاده وبلاگ وجود دارد که هفته گذشته پاتریک هونر نیز به آن پیوند داده است:

ایده های موجود در پست وینکنت نایت چند روز است که در پشت ذهن من لگد می زند. امروز من روی یک پست مورد علاقه قدیمی بن اورلین که نوعی نقاط را برای من وصل کردم ، گیر افتادم:

این نقل قول ، به ویژه ، حجم صحبت می کند: "ریاضی ایده های بزرگی است ، که از هرچه بیشتر زوایا نزدیک می شود."

به اندازه کافی خنده دار نقاطی که به هم وصل شده اند منجر به نتیجه گیری تقریباً مخالف در این مورد خاص شدند. برای من شماره 11 یک ایده کوچک یا به قول اورلین است ، اما این ایده کوچک به شما امکان می دهد مستقیماً به بسیاری از زمینه های مختلف ریاضیات نزدیک شوید. این واقعاً باورنکردنی است که این ایده ساده چقدر مفید است.

ما بحث های زیادی داشتیم که شماره 11 ثابت کرد که یک نقطه شروع شگفت آور مفید است. یک ارتباط جالب مثلث پاسکال است. ما در مورد چگونگی ارتباط مثلث پاسکال با قدرتهای 11 در اینجا بحث کردیم:

در اینجا نمونه ای از این بحث وجود دارد:

بحث جالب دیگری که مربوط به شماره 11 بود وقتی صحبت می کردیم در مورد تبدیل اعداد بین پایه ها:

در اینجا نمونه ای از این بحث وجود دارد:

سرانجام ، اگرچه این از نظر فنی به شماره 12 مربوط می شود (اوه خیلی نزدیک!) شما می توانید به راحتی این تمرین را برای شماره 11 و چند جمله ای تکرار کنید:

نمونه ای از این بحث در اینجا است:

بنابراین ، بسیاری از تفکرات در مورد من با الهام از پست وینسنت نایت. چه کسی فکر می کرد که این یک شماره کوچک می تواند بسیار جالب باشد!

یک روز در زندگی: ساختمان و گسترش حس شماره

من کاملاً مطمئن نیستم که چرا، اما اخیراً زمان زیادی را صرف فکر کردن در مورد راه‌های مختلف برای ایجاد حس اعداد کرده‌ام. حدود یک هفته پیش با پسر بزرگترم فصلی را درباره مثلث های مشابه شروع کردم، و مشکلات آن فصل به من کمک کرد تا درک بهتری از اهمیت ساختن «حس جبر» (به دلیل عدم وجود عبارت بهتر) پیدا کنم. من تعجب می کنم که اکنون که فعالانه به آنها توجه می کنم فرصت های زیادی برای تمرکز روی هر دوی این موضوعات وجود دارد. یک اتفاق عجیب امروز باعث شد که بخواهم صحبت هایی که امروز صبح با بچه هایم داشتم را بنویسم.

اما ابتدا می‌خواهم به اتفاقی از دیروز اشاره کنم.

همانطور که در بالا ذکر کردم من یک هفته یا بیشتر در حال مطالعه مثلث های مشابه با پسر بزرگترم هستم. بیت ریاضی که به نظر می‌رسد بیشترین مشکل را برای او ایجاد می‌کند هندسه نیست، بلکه کار کردن با نسبت‌هایی است که در مسائل مربوط به مثلث‌های مشابه به وجود می‌آیند. در اینجا یکی از مشکلاتی است که ما دیروز با آن کار کردیم تا نمونه ای از نسبت هایی که در این مشکلات به وجود می آید را ارائه دهیم:

من احساس کردم که خوب است قبل از پایان بخش مثلث مشابه، برخی از جبرهای پشت این معادلات نسبت را مرور کنم و چندین مجموعه از مسائل تمرینی را در آکادمی خان پیدا کردم که کم و بیش دقیقاً همان بررسی مورد نظر من را ارائه کرد. در اینجا یک مجموعه برای مثال آمده است:

اگرچه مردم دیدگاه‌های متفاوتی در مورد آکادمی خان دارند، من فکر می‌کنم یک مزیت خوب آن این است که بخش‌های مشکل برای این نوع بررسی عالی هستند.

جالب است که شب گذشته استیون استروگاتز این عکس را در توییتر منتشر کرد:

شباهت بین تکالیفی که می‌خواستم پسرم انجام دهد و تکلیف در توییت استروگاتز باعث شد که به زمینه فکر کنم. انگیزه یادگیری بیشتر درباره هندسه برای پسرم کافی بود تا هدف مسائل آکادمی خان را بفهمد. در واقع، او حتی درخواست کرد که کارهای بیشتری انجام دهد. من زمینه تکالیف دیگر را نمی‌دانم، اما فکر می‌کنم که بدون زمینه مناسب، آن تکلیف می‌تواند بسیار کسل‌کننده به نظر برسد. این تصادف دیروز به من یادآوری می‌کند که مراقب باشم تا بفهمم چرا از پسرها می‌خواهم تکالیفی را که به آنها می‌دهم انجام دهند.

حالا برو به امروز...

امروز صبح من و پسر کوچکترم درباره پالیندروم صحبت می‌کردیم (بخش 6. 5 در کتاب مقدمه‌ای بر نظریه اعداد کتاب هنر حل مسئله). ما با چندین مثال ساده شروع کردیم - اعدادی مانند 11، 454، 34543 - و سپس او مرا متوقف کرد:

بچه: "من یک لیست طولانی از پالیندروم ها را می شناسم."من: "چیه؟"بچه: [ 4 ردیف اول مثلث پاسکال را روی تخته می نویسد ]

این مثال قطعا برای تماشای پالیندروم ها جالب است، اما برای ایجاد حس اعداد نیز عالی است. ارتباطی که می‌خواستم روی آن تمرکز کنم این بود که ردیف‌ها چگونه به توان‌های 11 مربوط می‌شوند، و چگونه به نظر می‌رسد که این اتصال در ردیف شکسته می‌شود: 1 5 10 10 5 1.

اولین سوال من از او این بود که آیا این ردیف خاص پالیندروم است یا خیر؟او با گفتن این که اگر چه عددی که با کنار هم قرار دادن همه عبارت ها به دست می آورید، یعنی 15101051، من را متعجب کرد، یک پالیندروم نبود، شما می توانید پالیندرومی را که فقط به رقم های آخر نگاه کرده اید، بدست آورید، بنابراین 150051. مشاهده جالب. بعداً وقتی در مورد محاسبات مدولار صحبت می کنیم، باید به این موضوع بازگردیم!

سوال بعدی من از او در مورد توان های 11 بود. با شروع، توان های 11 عبارتند از 1، 11، 121، 1331، 14641 و 161،051. چرا هنگام محاسبه، اتصال به مثلث پاسکال را از دست دادیم؟این منجر به یک گفتگوی فوق‌العاده درباره ارزش مکانی شد و در نهایت نشان داد که چرا ما واقعاً ارتباط با مثلث پاسکال را از دست ندادیم. واقعاً سرگرم‌کننده است، و فکر می‌کنم روشی منظم برای صحبت در مورد ارزش مکانی و در عین حال کمی تمرین حسابی.

بعداً در صبح پسر بزرگتر من با این مشکل از AMC 8 2006 مواجه شد:

این مشکل یک ارتباط واقعاً خوش شانسی با پالیندروم دارد زیرا یک مشاهدات مهم در حل آن این است که یک عدد برابر است با عدد دیگری ضربدر 101. صحبت کردن در مورد این مسئله همچنین منجر به گفتگوی خوبی در مورد ارزش مکانی شد. خوشبختانه یادداشت‌های مکالمه درباره مثلث پاسکال و ارزش مکانی زمانی که این مکالمه دوم انجام شد هنوز روی تابلو باقی ماندند.

با دیدن برخی از کارهای قبلی که روی تخته بود، پسر بزرگترم گفت که او فکر می‌کند می‌توان با کار در پایه 11، ردیف 1 5 10 10 5 1 را به صورت یک پالیندروم درآورد. کمی در مورد چیزی که من «حس جبر» می نامم صحبت کنیم.

ما به سرعت مکالمه ارزش مکانی را که با پسر کوچکترم درباره نحوه اتصال ردیف ها به توان های 11 داشتم، مرور کردیم، اما سپس به آنچه در پایه 11 اتفاق می افتد نگاه کردیم. شگفتی - قدرت های 12!! فکر نکنید که او این اتفاق را دیده است 🙂 اکنون شاید 5 تا 10 دقیقه مکالمه در مورد اینکه چند جمله ای ها و شبیه آن ها چگونه هستند و ما به طور غیرمنتظره ای کار منظمی انجام داده ایم که به ایجاد آشنایی با جبر و عبارات جبری کمک می کند.

پس یک صبح سرگرم کنندهاز آنجایی که هدف من کار بر روی حس اعداد در پس ذهنم است، از دیدن همه فرصت هایی که برای کار روی آن به وجود می آیند هیجان زده هستم. حس جبر نیز وجود دارد، اما پست دیروز استروگاتز به من یادآوری می کند که در مورد زمینه دقت بیشتری داشته باشم. لذت بردن از اوقات خوش شانسی مانند امروز صبح که آن زمینه تقریباً با جادو ظاهر می شود سرگرم کننده است!